Logaritmeregler
Den basen b logaritmen av et tall er eksponenten at vi trenger å heve basen for å få nummeret.
- Logaritmedefinisjon
- Logaritmen regler
- Logaritmeproblemer
- Kompleks logaritme
- Graf for logg (x)
- Logaritmetabell
- Logaritmekalkulator
Logaritmedefinisjon
Når b heves til kraften til y er lik x:
b y = x
Da er b-logaritmen til x lik y:
logg b ( x ) = y
For eksempel når:
2 4 = 16
Deretter
logg 2 (16) = 4
Logaritme som omvendt funksjon av eksponensiell funksjon
Den logaritmiske funksjonen,
y = log b ( x )
er den omvendte funksjonen til den eksponensielle funksjonen,
x = b y
Så hvis vi beregner den eksponensielle funksjonen til logaritmen til x (x/ 0),
f ( f -1 ( x )) = b logg b ( x ) = x
Eller hvis vi beregner logaritmen til den eksponensielle funksjonen til x,
f -1 ( f ( x )) = log b ( b x ) = x
Naturlig logaritme (ln)
Naturlig logaritme er en logaritme til basen e:
ln ( x ) = log e ( x )
Når e konstant er tallet:
eller
Invers logaritmeberegning
Den omvendte logaritmen (eller anti-logaritmen) beregnes ved å heve basen b til logaritmen y:
x = log -1 ( y ) = b y
Logaritmisk funksjon
Den logaritmiske funksjonen har den grunnleggende formen for:
f ( x ) = logg b ( x )
Logaritmen regler
| Regelnavn | Regel |
|---|---|
Logaritmeproduktregel |
log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y ) |
Logaritmekvotientregel |
log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y ) |
Logaritmens maktregel |
log b ( x y ) = y ∙ log b ( x ) |
Logaritmebryterregel |
logg b ( c ) = 1 / logg c ( b ) |
Logaritme basisendringsregel |
logg b ( x ) = logg c ( x ) / logg c ( b ) |
Derivat av logaritme |
f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b )) |
Integral av logaritme |
∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C |
Logaritme med negativt tall |
log b ( x ) er udefinert når x ≤ 0 |
Logaritme på 0 |
logg b (0) er udefinert |
 |
|
Logaritme på 1 |
logg b (1) = 0 |
Logaritmen til basen |
logg b ( b ) = 1 |
Uendelig logaritme |
lim log b ( x ) = ∞, når x → ∞ |
Se: Logaritmeregler
Logaritmeproduktregel
Logaritmen til multiplikasjonen av x og y er summen av logaritmen til x og logaritmen til y.
log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
For eksempel:
logg 10 (3 ∙ 7) = logg 10 (3) + logg 10 (7)
Logaritmekvotientregel
Logaritmen til divisjonen av x og y er forskjellen på logaritmen til x og logaritmen til y.
log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
For eksempel:
log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)
Logaritmens maktregel
Logaritmen til x hevet til kraften til y er y ganger logaritmen til x.
log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
For eksempel:
logg 10 (2 8 ) = 8 ∙ logg 10 (2)
Logaritmebryterregel
Basen b logaritmen til c er 1 delt på basen c logaritmen til b.
logg b ( c ) = 1 / logg c ( b )
For eksempel:
logg 2 (8) = 1 / logg 8 (2)
Logaritme basisendringsregel
Basen b logaritme av x er base c logaritme av x delt på basen c logaritmen til b.
logg b ( x ) = logg c ( x ) / logg c ( b )
For eksempel, for å beregne logg 2 (8) i kalkulatoren, må vi endre basen til 10:
logg 2 (8) = logg 10 (8) / logg 10 (2)
Se: regel for endring av loggbase
Logaritme med negativt tall
Basen b reell logaritme av x når x <= 0 er udefinert når x er negativ eller lik null:
log b ( x ) er udefinert når x ≤ 0
Logaritme på 0
Basis b-logaritmen på null er udefinert:
logg b (0) er udefinert
Grensen for base b logaritmen til x, når x nærmer seg null, er minus uendelig:
Se: logg av null
Logaritme på 1
Basis b logaritmen til en er null:
logg b (1) = 0
For eksempel er basis to logaritmer av en null:
logg 2 (1) = 0
Se: logg av en
Uendelig logaritme
Grensen for b-logaritmen til x når x nærmer seg uendelig, er lik uendelig:
lim log b ( x ) = ∞, når x → ∞
Se: log of infinity
Logaritmen til basen
Basen b logaritmen til b er en:
logg b ( b ) = 1
For eksempel er de to basale logaritmene av to en:
logg 2 (2) = 1
Logaritmederivat
Når
f ( x ) = logg b ( x )
Deretter avledet av f (x):
f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
Se: loggderivat
Logaritme integrert
Integralet av logaritmen til x:
∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
For eksempel:
∫ log 2 ( x ) dx = x ∙ (log 2 ( x ) - 1 / ln (2) ) + C
Logaritme tilnærming
logg 2 ( x ) ≈ n + ( x / 2 n - 1),
Kompleks logaritme
For kompleks nummer z:
z = re iθ = x + iy
Den komplekse logaritmen vil være (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):
Logg z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))
Logaritmeproblemer og svar
Problem nr. 1
Finn x for
logg 2 ( x ) + logg 2 ( x -3) = 2
Løsning:
Bruke produktregelen:
logg 2 ( x ∙ ( x -3)) = 2
Endring av logaritmeformen i henhold til logaritmedefinisjonen:
x ∙ ( x -3) = 2 2
Eller
x 2 -3 x -4 = 0
Løse kvadratisk ligning:
x 1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1
Siden logaritmen ikke er definert for negative tall, er svaret:
x = 4
Oppgave 2
Finn x for
logg 3 ( x +2) - logg 3 ( x ) = 2
Løsning:
Bruke kvotientregelen:
logg 3 (( x +2) / x ) = 2
Endring av logaritmeformen i henhold til logaritmedefinisjonen:
( x +2) / x = 3 2
Eller
x +2 = 9 x
Eller
8 x = 2
Eller
x = 0,25
Graf for logg (x)
log (x) er ikke definert for reelle ikke positive verdier av x:
Logaritmetabell
| x | logg 10 x | logg 2 x | logg e x |
|---|---|---|---|
| 0 | udefinert | udefinert | udefinert |
| 0 + | - ∞ | - ∞ | - ∞ |
| 0,0001 | -4 | -13.287712 | -9.210340 |
| 0,001 | -3 | -9,965784 | -6,907755 |
| 0,01 | -2 | -6,643856 | -4,605170 |
| 0,1 | -1 | -3.321928 | -2,302585 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 0,301030 | 1 | 0,693147 |
| 3 | 0.477121 | 1.584963 | 1.098612 |
| 4 | 0,602060 | 2 | 1.386294 |
| 5 | 0,698970 | 2.321928 | 1.609438 |
| 6 | 0.778151 | 2.584963 | 1.791759 |
| 7 | 0,845098 | 2.807355 | 1,945910 |
| 8 | 0,903090 | 3 | 2.079442 |
| 9 | 0,954243 | 3.169925 | 2.197225 |
| 10 | 1 | 3.321928 | 2.302585 |
| 20 | 1.301030 | 4.321928 | 2.995732 |
| 30 | 1.477121 | 4.906891 | 3.401197 |
| 40 | 1.602060 | 5.321928 | 3.688879 |
| 50 | 1.698970 | 5,643856 | 3.912023 |
| 60 | 1.778151 | 5.906991 | 4.094345 |
| 70 | 1.845098 | 6.129283 | 4.248495 |
| 80 | 1,903090 | 6.321928 | 4.382027 |
| 90 | 1.954243 | 6.491853 | 4.499810 |
| 100 | 2 | 6,643856 | 4.605170 |
| 200 | 2.301030 | 7.643856 | 5.298317 |
| 300 | 2.477121 | 8.228819 | 5.703782 |
| 400 | 2.602060 | 8.643856 | 5.991465 |
| 500 | 2.698970 | 8.965784 | 6.214608 |
| 600 | 2.778151 | 9.228819 | 6.396930 |
| 700 | 2.845098 | 9.451211 | 6.551080 |
| 800 | 2.903090 | 9.643856 | 6,684612 |
| 900 | 2.954243 | 9.813781 | 6.802395 |
| 1000 | 3 | 9.965784 | 6,907755 |
| 10000 | 4 | 13.287712 | 9.210340 |
Se også
- Logaritmen regler
- Logaritmeskifte av base
- Logaritme på null
- Logaritme av en
- Uendelig logaritme
- Logaritme med negativt tall
- Logaritmekalkulator
- Logaritmediagram
- Logaritmetabell
- Naturlig logaritmekalkulator
- Naturlig logaritme - ln x
- e konstant
- Decibel (dB)