Quy tắc lôgarit

Các cơ sở b logarit của một số là số mũ mà chúng ta cần phải nâng cao cơ sở để có được số điện thoại.

Định nghĩa lôgarit

Khi nâng b lên lũy thừa của y thì x bằng:

b y = x

Khi đó logarit cơ số b của x bằng y:

log b ( x ) = y

Ví dụ khi:

2 4 = 16

Sau đó

log 2 (16) = 4

Lôgarit là hàm ngược của hàm mũ

Hàm logarit,

y = log b ( x )

là hàm ngược của hàm mũ,

x = b y

Vì vậy, nếu chúng ta tính hàm số mũ của lôgarit của x (x/ 0),

f ( f -1 ( x )) = b log b ( x ) = x

Hoặc nếu chúng ta tính logarit của hàm số mũ của x,

f -1 ( f ( x )) = log b ( b x ) = x

Lôgarit tự nhiên (ln)

Lôgarit tự nhiên là một lôgarit đến cơ số e:

ln ( x ) = log e ( x )

Khi e không đổi là số:

e = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ left (1+ \ frac {1} {x} \ right) ^ x = 2.718281828459 ...

hoặc

e = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ left (1+ \ right x) ^ \ frac {1} {x}

 

Xem: Lôgarit tự nhiên

Phép tính logarit nghịch đảo

Logarit nghịch đảo (hoặc phản logarit) được tính bằng cách nâng cơ số b lên logarit y:

x = log -1 ( y ) = b y

Hàm lôgarit

Hàm số logarit có dạng cơ bản là:

f ( x ) = log b ( x )

Quy tắc lôgarit

Tên quy tắc Qui định
Quy tắc tích lôgarit
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Quy tắc thương số lôgarit
 log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Quy tắc lũy thừa lôgarit
 log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Quy tắc chuyển đổi cơ số lôgarit
 log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Quy tắc thay đổi cơ số lôgarit
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Đạo hàm của logarit
 f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
Tích phân lôgarit
 ∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Lôgarit của số âm
 log b ( x ) là không xác định khi x ≤ 0
Lôgarit của 0
 log b (0) là không xác định
\ lim_ {x \ to 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty
Lôgarit của 1
 log b (1) = 0
Lôgarit của cơ số
 log b ( b ) = 1
Logarit của vô cực
 lim log b ( x ) = ∞, khi x → ∞

Xem: Quy tắc lôgarit

 

Quy tắc tích lôgarit

Lôgarit của phép nhân x và y là tổng lôgarit của x và lôgarit của y.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

Ví dụ:

log 10 (3 ∙ 7) = log 10 (3) + log 10 (7)

Quy tắc thương số lôgarit

Logarit của phép chia x và y là hiệu của logarit của x và logarit của y.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

Ví dụ:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Quy tắc lũy thừa lôgarit

Lôgarit của x được nâng lên thành lũy thừa của y là y nhân với lôgarit của x.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

Ví dụ:

log 10 (2 8 ) = 8 ∙ log 10 (2)

Quy tắc chuyển đổi cơ số lôgarit

Lôgarit cơ số b của c bằng 1 chia cho lôgarit cơ số c của b.

log b ( c ) = 1 / log c ( b )

Ví dụ:

log 2 (8) = 1 / log 8 (2)

Quy tắc thay đổi cơ số lôgarit

Lôgarit cơ số b của x là lôgarit cơ số c của x chia cho lôgarit cơ số c của b.

log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )

Ví dụ, để tính log 2 (8) trong máy tính, chúng ta cần thay đổi cơ số thành 10:

log 2 (8) = log 10 (8) / log 10 (2)

Xem: quy tắc thay đổi cơ sở nhật ký

Lôgarit của số âm

Lôgarit thực cơ số b của x khi x <= 0 là không xác định khi x âm hoặc bằng 0:

log b ( x ) là không xác định khi x ≤ 0

Xem: nhật ký số âm

Lôgarit của 0

Lôgarit b cơ số 0 là không xác định:

log b (0) là không xác định

Giới hạn của lôgarit cơ số b của x, khi x tiến gần đến 0, là trừ vô cùng:

\ lim_ {x \ to 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty

Xem: nhật ký số 0

Lôgarit của 1

Lôgarit b cơ số của một bằng 0:

log b (1) = 0

Ví dụ, teh logarit cơ số hai của một bằng 0:

log 2 (1) = 0

Xem: nhật ký của một

Logarit của vô cực

Giới hạn của logarit cơ số b của x, khi x tiến tới vô cùng, bằng vô cùng:

lim log b ( x ) = ∞, khi x → ∞

Xem: nhật ký vô cực

Lôgarit của cơ số

Lôgarit b cơ số của b là một:

log b ( b ) = 1

Ví dụ, logarit cơ số hai của hai là một:

log 2 (2) = 1

Đạo hàm lôgarit

Khi nào

f ( x ) = log b ( x )

Khi đó đạo hàm của f (x):

f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))

Xem: dẫn xuất log

Tích phân lôgarit

Tích phân lôgarit của x:

∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C

Ví dụ:

∫ log 2 ( x ) dx = x ∙ (log 2 ( x ) - 1 / ln (2) ) + C

Xấp xỉ lôgarit

log 2 ( x ) ≈ n + ( x / 2 n - 1),

Lôgarit phức tạp

Đối với số phức z:

z = re iθ = x + iy

Lôgarit phức sẽ là (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))

Bài toán lôgarit và câu trả lời

Vấn đề số 1

Tìm x cho

log 2 ( x ) + log 2 ( x -3) = 2

Giải pháp:

Sử dụng quy tắc sản phẩm:

log 2 ( x ∙ ( x -3)) = 2

Thay đổi dạng logarit theo định nghĩa logarit:

x ∙ ( x -3) = 2 2

Hoặc

x 2 -3 x -4 = 0

Giải phương trình bậc hai:

x 1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1

Vì lôgarit không được xác định cho các số âm, câu trả lời là:

x = 4

Vấn đề số 2

Tìm x cho

log 3 ( x +2) - log 3 ( x ) = 2

Giải pháp:

Sử dụng quy tắc thương số:

log 3 (( x +2) / x ) = 2

Thay đổi dạng logarit theo định nghĩa logarit:

( x +2) / x = 3 2

Hoặc

x +2 = 9 x

Hoặc

8 x = 2

Hoặc

x = 0,25

Đồ thị của log (x)

log (x) không được xác định cho các giá trị thực không dương của x:

Bảng lôgarit

x log 10 x log 2 x log e x
0 chưa xác định chưa xác định chưa xác định
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13.287712 -9.210340
0,001 -3 -9,965784 -6.907755
0,01 -2 -6,643856 -4.605170
0,1 -1 -3,321928 -2,302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0,693147
3 0,477121 1.584963 1,098612
4 0,602060 2 1.386294
5 0,698970 2.321928 1.609438
6 0,778151 2.584963 1.791759
7 0,845098 2.807355 1.945910
8 0,903090 3 2.079442
9 0,954243 3,169925 2.197225
10 1 3.321928 2.302585
20 1.301030 4.321928 2.995732
30 1.477121 4.906891 3,401197
40 1.602060 5.321928 3.688879
50 1,698970 5.643856 3,912023
60 1.778151 5.906991 4.094345
70 1.845098 6.129283 4.248495
80 1.903090 6.321928 4.382027
90 1.954243 6.491853 4.499810
100 2 6.643856 4.605170
200 2.301030 7.643856 5.298317
300 2.477121 8.228819 5.703782
400 2.602060 8.643856 5.991465
500 2,698970 8.965784 6.214608
600 2.778151 9.228819 6.396930
700 2.845098 9.451211 6,551080
800 2.903090 9,643856 6.684612
900 2.954243 9,813781 6.802395
1000 3 9,965784 6.907755
10000 4 13,287712 9.210340

 

Máy tính lôgarit ►

 

Xem thêm

ĐẠI SỐ HỌC
BẢNG RAPID